Puentes de Königsberg: el paseo que nadie pudo dar

Euler, una ciudad partida por ríos y la matemática que hoy estudia redes sociales, mapas e internet

En el siglo XVIII, los habitantes de Königsberg tenían un pasatiempo de domingo: intentar cruzar los siete puentes de su ciudad sin repetir ninguno.

Nadie lo lograba jamás. ¿Mala suerte? ¿Falta de ingenio?

Un matemático suizo llamado Leonhard Euler dio en 1736 la respuesta que nadie esperaba. Y al demostrarlo, abrió sin proponérselo una puerta hacia una nueva forma de pensar la matemática.

Lo genial de Euler fue cómo lo pensó

Para resolverlo, tuvo que ignorar casi todo. El tamaño de las islas no importaba; la forma del río no importaba; el largo de los puentes no importaba.

Solo importaba qué conectaba cada puente.

Euler redujo el mapa a puntos — las zonas de tierra, llamadas A, B, C y D — y líneas — los puentes — .

El paseo dominical se convirtió en un dibujo. Y al simplificarlo, el problema dejó de ser una caminata y se volvió una estructura.

Probá vos primero

Te propongo esto…

Dibujá el esquema de los puentes en un papel con un lápiz, sin levantarlo y sin pasar dos veces por la misma línea. Podés empezar donde quieras y terminar donde quieras.

Dale, intentalo.

¿No te sale?

Tranquilo/a: no te va a salir. Pero lo interesante es la pregunta que sigue: ¿No te sale porque todavía no encontraste el camino… o porque el camino no existe? Son dos cosas muy distintas.

Probando recorridos uno por uno nunca vas a estar seguro: siempre podría quedar alguno sin probar. Hace falta otra clase de argumento.

Cuando Euler miró lo que nadie miraba

Euler centró la atención en una sola cosa: cuántas líneas tocan cada punto.

El razonamiento que encontró cabe en una idea muy simple y hermosa: si un paseo entra y sale de una zona, usa los puentes de a dos.

Por eso, para que el recorrido exista, cada zona debería tener una cantidad par de puentes, salvo — como máximo — el punto de partida y el punto de llegada.

¿Y en Königsberg?

Las cuatro zonas tenían cantidad impar de puentes.

Por eso el paseo era imposible.

No difícil. Imposible.

Y esa palabra cambia todo. Porque a veces resolver un problema no significa encontrar el camino. Significa demostrar que ese camino no puede existir.

El hombre detrás del genio

Euler nació en 1707 en Basilea, Suiza.

Su padre quería que estudiara teología y llegara a ser pastor, pero sus aptitudes matemáticas eran tan fuertes que el famoso matemático Johann Bernoulli reconoció su talento y ayudó a convencer a la familia de que su futuro estaba en la matemática.

A los quince años ya había obtenido su bachillerato, y muy joven comenzó una carrera extraordinaria

Pero Euler no fue solo una mente brillante encerrada entre fórmulas. También fue maestro, padre, abuelo, lector, trabajador incansable y una persona profundamente dedicada a enseñar.

Podemos imaginar una escena de sus últimos años…

Euler está en una habitación de San Petersburgo. La luz entra débil por una ventana, pero él ya casi no puede verla. La ceguera avanza, y aun así su mente sigue trabajando con una claridad impresionante. Cerca suyo, uno de sus hijos escribe lo que él dicta. En el piso, algunos niños juegan. Tal vez uno se sube a sus rodillas.

Euler no se aparta del mundo para pensar: piensa en medio de la vida familiar.

Los historiadores cuentan que fue perdiendo la vista, pero nunca dejó de producir. También relatan que tuvo trece hijos, que varios murieron pequeños, que al final de su vida tenía muchos nietos, y que disfrutaba instruyendo a los pequeños, construyéndoles juguetes científicos y reuniéndolos para leer la Biblia.

Hay algo conmovedor en esa imagen: un matemático casi ciego, rodeado de familia, dictando ideas que otros escriben, sin dejar que la oscuridad apague su deseo de comprender.

Un maestro de casi todos

Euler fue uno de los matemáticos más grandes de la historia.

Su nombre aparece en cálculo, álgebra, geometría, teoría de números, trigonometría, ecuaciones diferenciales, series y cálculo de variaciones.

También introdujo o popularizó notaciones que todavía usamos, como 𝑓(𝑥) para funciones, 𝑒 , 𝑖 , Σ y el uso de 𝜋, y creó la famosa identidad de Euler que fue conocida como la fórmula más bella de las Matemáticas.

Pero además de investigar, amaba enseñar.

No pensaba la matemática como un tesoro para guardar, sino como algo que debía transmitirse.

Fue generoso con otros matemáticos y su obra fue tan enorme que, al final de su vida, podía considerarse maestro de buena parte de los matemáticos europeos de su época.

Quizás eso también explique su grandeza: no solo resolvía problemas difíciles; ayudaba a que otros pudieran seguir pensando después de él.

El árbol no deja ver el bosque

A esta altura, quizá te preguntes: “¿Y a mí qué me importa un paseo imposible por una ciudad antigua?”. De hecho, en aquella época que Euler lo pensó también parecía un problema sin historia, que terminaba ahí, en su resolución. ¡Pero fue más grande que eso! Porque al resolverlo, creó una forma nueva de mirar relaciones.

A esa manera de pensar primero se la llamó geometría de posición. Hoy la conocemos como teoría de grafos: una rama de la matemática que estudia conjuntos de puntos, llamados vértices o nodos, unidos por líneas, llamadas aristas.

Un grafo parece un dibujito simple. Pero no te dejes engañar.

Un grafo puede representar puentes, calles, redes eléctricas, rutas de transporte, conexiones de internet, amistades en una red social, contagios, rumores, modas o estructuras de poder.

El paseo frustrado de Königsberg, escalado a miles de millones de conexiones, se parece mucho al mundo en que vivimos.

La regla de Euler, paso a paso

Si pensamos en los siete puentes, es lógico imaginar que si un viajero entra en una zona obligatoriamente debe usar un puente, y para salir usa un segundo puente.

Por lo tanto, si nos posicionamos en la zona (nodo), para que el caminante atraviese hacia otra zona debe haber puentes (aristas) de a dos (o en número par): una de entrada y otra de salida (figura 1). Si tenemos un grafo donde todos los nodos tienen cantidad par de aristas, se puede recorrer. En ese caso, el recorrido puede terminar donde empezó, como se ve en la figura 2.

Pero si aparecen nodos impares, por ejemplo 3 aristas que salen de un nodo, hay que mirar cuántos son. Porque éstos serían nodos intermedios, pero el recorrido de la figura debería arrancar y terminar en nodos pares (figura 3).

La regla es esta: Un grafo se puede recorrer sin repetir aristas si todos sus vértices son pares, o si tiene exactamente dos vértices impares (uno de entrada y otro de salida), como es el caso de la figura 3.

En síntesis , para que un grafo pueda ser recorrido completamente, sin pasar más de una vez por ninguno de sus lados/aristas , se debe cumplir :

• Si todos son pares, el recorrido puede ser cerrado: empieza y termina en el mismo lugar.
• Si hay exactamente dos impares, el camino empieza en uno de esos vértices impares y termina en el otro.
• Pero si hay más de dos vértices impares, no se puede.

Este último es el caso del problema de Königsberg, que tenía cuatro zonas con cantidad impar de puentes. Por eso el paseo no existía.

Probá vos mismo

Te propongo lo siguiente: dibujá cada figura debajo en una hoja, sin levantar el lápiz y sin pasar dos veces por las mismas líneas. ¿Cuál de las dos figuras podés completar? Recordá la pista: comenzá en un nodo con arista impar y terminá también en otra impar.

Saber que algo no se puede también es saber

Hay algo hermoso en el gesto de Euler: donde todos veían un jueguito de sobremesa, él vio una estructura. Y donde vio una estructura, encontró una verdad que nadie podía discutir.

No resolvió el problema encontrando un camino. Lo resolvió demostrando que no había camino.

Eso también es matemática. Y nos muestra lo que a veces representa la vida misma.

Muchas veces insistimos en una estrategia que no funciona, no porque nos falte esfuerzo, sino porque el camino que imaginamos no existe con esas condiciones. Entonces pensar mejor no siempre significa intentar más fuerte. A veces consiste en cambiar la representación, mirar el problema desde otro lugar y preguntarse: ¿esto es difícil o es imposible así como está planteado?

Cuando la matemática estudia relaciones humanas

La teoría de grafos no quedó encerrada en puentes antiguos. Hoy es una herramienta muy importante para estudiar redes humanas.

Y ahí aparece algo que puede sorprender: esta matemática también se usa en ciencias sociales . ¿Por qué? Porque una sociedad también puede pensarse como una red. Las personas son nodos. Las relaciones son aristas.

Una amistad, una influencia, un mensaje, una recomendación, una alianza política o una cadena de rumores pueden dibujarse como conexiones.

Con grafos se puede estudiar cómo se difunde una noticia, cómo circula una moda, cómo se forman grupos, quién ocupa un lugar central en una comunidad o cómo se conecta una persona con otra a través de intermediarios.

¿Te imaginabas una matemática capaz de analizar rumores, poder, vínculos o redes sociales? Una de las grandes ideas que nacen de Euler: a veces lo importante no es el objeto aislado, sino la relación entre los objetos .

Internet, mapas y amistades sugeridas

Cuando Google Maps calcula una ruta, trabaja con puntos y conexiones.

Cuando una red social te sugiere amigos, mira relaciones entre usuarios.

Cuando internet manda información de un dispositivo a otro, atraviesa redes.

Cuando una empresa estudia cómo se mueve un producto, también puede usar grafos.

Cuando se analiza cómo se propaga una epidemia o cómo circula una noticia falsa, aparecen redes de contacto e influencia.

El mundo moderno está lleno de grafos.

Y todo empezó, en parte, con una pregunta que parecía casi un juego: ¿se pueden cruzar siete puentes sin repetir ninguno?

Cierre

Euler no necesitó resolver el paseo caminando.

Lo resolvió pensando.

Sacó del mapa todo lo que no importaba y dejó solo lo esencial: puntos y conexiones.

Esa capacidad de simplificar sin perder lo importante es una de las grandes fuerzas de la matemática.

Un puente ya no era solo un puente: era una relación. Una ciudad ya no era solo una ciudad: era una red. Un paseo imposible ya no era un fracaso: era el nacimiento de una teoría.

Quizás por eso Euler sigue siendo tan grande: porque podía mirar un problema cotidiano y encontrar una puerta hacia una matemática nueva.

Y quizás esa sea una buena pregunta para llevarte:

¿Qué red invisible hay hoy delante de tus ojos, esperando que alguien la dibuje?

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